Question

18．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R），設(shè)集合A={x∈R|f（x）=x}，B={x∈R|f（f（x））=f（x）}，C={x∈R|f（f（x））=0}．
（Ⅰ）當(dāng)a=2，A={2}時，求集合B；
（Ⅱ）若f（$\frac{1}{a}$）＜0，試判斷集合C的元素個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知方程f（x）=x有且只有一個根2；再結(jié)合a=2可得b=-7；且方程f（f（x））=f（x）可化為f（x）=2，再由2是方程f（x）=2的根，求另一根即可；
（Ⅱ）由f（$\frac{1}{a}$）＜0及a＞0可判斷方程f（x）=0有兩個不等的實根，不妨記為x₁，x₂；從而可得x₁＜$\frac{1}{a}$＜x₂，從而可判斷方程f（x）=x₁有兩個不等的實根，方程f（x）=x₂有兩個不等的實根，且方程f（x）=x₁與方程f（x）=x₂沒有相同的根，從而可判斷集合C的元素個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）∵a=2，A={2}，
∴方程f（x）=x有且只有一個根2；
故-$\frac{b-1}{2a}$=2；
故b=-7；
由A={2}可得，方程f（f（x））=f（x）可化為f（x）=2，
而且2是方程f（x）=2的根，故另一根為
-$\frac{a}$-2=$\frac{3}{2}$；
故集合B={2，$\frac{3}{2}$}．
（Ⅱ）∵f（$\frac{1}{a}$）＜0及a＞0，
∴方程f（x）=0有兩個不等的實根，記為x₁，x₂；
且有x₁＜$\frac{1}{a}$＜x₂，
從而可設(shè)f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
∴f（x）_min=f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²；
由x₁＜$\frac{1}{a}$＜x₂，
故x₂-x₁＞$\frac{1}{a}$-x₁＞0，又a＞0；
∴f（x）_min=-$\frac{a}{4}$（x₂-x₁）²＜-$\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$-x₁）²=-$\frac{a}{4}$（$\frac{1}{a}$+x₁）²+x₁≤x₁；
∴方程f（x）=x₁有兩個不等的實根；
另一方面，f（x）_min＜0＜x₂；
∴方程f（x）=x₂有兩個不等的實根；
且可知方程f（x）=x₁與方程f（x）=x₂沒有相同的根，
∴方程f（f（x））=0有四個不同的根，
即C={x∈R|f（f（x））=0}中的元素有4個．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及零點的判斷，同時考查了集合中的元素的個數(shù)問題及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．