19.已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-6.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)對一切x∈[3,+∞)恒有f(x)≥g(x)成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)當x∈(0,2π),求證:lnx+cosx+$\frac{3π}{2x}≥\frac{sinx}{x}$.

分析 (Ⅰ)先確定函數(shù)f(x)的定義域,再求導f′(x)=lnx+1,從而判斷函數(shù)的單調性及最值;
(Ⅱ)對一切x∈[3,+∞)恒有f(x)≥g(x)成立可化為a≤lnx+x+$\frac{6}{x}$恒成立,(x∈[3,+∞));從而化為函數(shù)h(x)=lnx+x+$\frac{6}{x}$的最值問題,從而解得.
(Ⅲ)由題意,原命題可化為xlnx≥sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$;從而設P(x)=sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$,則P′(x)=xsinx,從而可得Pmax(x)=P(π)=-$\frac{π}{2}$;從而證明.

解答 解:(Ⅰ)由條件知,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=lnx+1,
故f(x)在(0,$\frac{1}{e}$)上單調遞減,在($\frac{1}{e}$,+∞)上單調遞增;
故fmin(x)=f($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{e}$;
(Ⅱ)對一切x∈[3,+∞)恒有f(x)≥g(x)成立,
即xlnx≥-x2+ax-6恒成立,(x∈[3,+∞));
即a≤lnx+x+$\frac{6}{x}$恒成立,(x∈[3,+∞));
令h(x)=lnx+x+$\frac{6}{x}$,則h′(x)=$\frac{{x}^{2}+x-6}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+3)(x-2)}{{x}^{2}}$;
故h(x)在[3,+∞)上是增函數(shù);
故hmin(x)=h(3)=5+ln3;
故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,5+ln3].
(Ⅲ)證明:由題意,當x∈(0,2π)時,
要證:lnx+cosx+$\frac{3π}{2x}≥\frac{sinx}{x}$成立,
只需證xlnx≥sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$;
設P(x)=sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$,則P′(x)=xsinx,
故P(x)在(0,π)上是增函數(shù),在(π,2π)上是減函數(shù);
故Pmax(x)=P(π)=-$\frac{π}{2}$;
由(Ⅰ)知,fmin(x)=f($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{e}$>-$\frac{π}{2}$;
故當x∈(0,2π),lnx+cosx+$\frac{3π}{2x}≥\frac{sinx}{x}$恒成立.

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題,屬于難題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

4.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=b×2n+a(a≠0,b≠0),若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則a,b滿足(  )
A.a-b=0B.a-b≠0C.a+b=0D.a+b≠0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

10.如圖,已知點C是圓心為O半徑為1的半圓弧上從點A數(shù)起的第一個三等分點,AB是直徑,CD=1,直線CD⊥平面ABC.
(1)證明:AC⊥BD;
(2)在DB上是否存在一點M,使得OM∥平面DAC,若存在,請確定點M的位置,并證明之;若不存在,請說明理由;
(3)求點C到平面ABD的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.已知函數(shù)f(x)=xlnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$(a∈R).
(Ⅰ)當a=0時,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)對于區(qū)間(1,2)內(nèi)的任意兩個不相等的實數(shù)x1,x2,不等式$\frac{{f({x_1}+1)-f({x_2}+1)}}{{{x_1}-{x_2}}}$>1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)設Sn=$\frac{ln2}{2^3}+\frac{ln3}{3^3}+\frac{ln4}{4^3}+…+\frac{lnn}{n^3}$,試比較Sn與$\frac{1}{e}$的大小.(其中n>1,n∈N*,e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

14.已知函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx在R上是奇函數(shù),且 f(-1)=-2,f(2)=10.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)說明 f(x)在R上的單調性(不需要證明);
(Ⅲ)若關于x的不等式 f(x2-9)+f(kx+3k)<0在 x∈(0,1)上恒成立,求實數(shù)k是的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

4.已知函數(shù)f(x)=x2+ln($\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ax)-ax(a為常數(shù),a>0)
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)有兩個不同的零點x1,x2,證明:f′($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)<0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.已知橢圓的左右焦點為F1、F2,點A(2,$\sqrt{2}$)在橢圓上,且AF2與x軸垂直,求過A作直線與橢圓交于另外一點B,求△AOB面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.春節(jié)期間,某微信群主發(fā)60個隨機紅包(即每個人搶到的紅包中的錢數(shù)是隨機的,且每人只能搶一個),紅包被一搶而空,后據(jù)統(tǒng)計,60個紅包中錢數(shù)(單位:元)分配如下頻率分布直方圖所示(其分組區(qū)間為[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5)).
(1)試估計該群中某成員搶到錢數(shù)不小于3元的概率;
(2)若群主在只搶到2元以下的幾人中隨機選擇3人拜年,則選中的三人中搶到錢數(shù)在1元以下的人數(shù)為X,試求X的分布列及期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.已知F1為雙曲線C:$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的左焦點,直線l過原點且與雙曲線C相交于P,Q兩點,若 $\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$=0,則△PF1Q的周長等于22.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案