分析 (Ⅰ)先確定函數(shù)f(x)的定義域,再求導f′(x)=lnx+1,從而判斷函數(shù)的單調性及最值;
(Ⅱ)對一切x∈[3,+∞)恒有f(x)≥g(x)成立可化為a≤lnx+x+$\frac{6}{x}$恒成立,(x∈[3,+∞));從而化為函數(shù)h(x)=lnx+x+$\frac{6}{x}$的最值問題,從而解得.
(Ⅲ)由題意,原命題可化為xlnx≥sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$;從而設P(x)=sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$,則P′(x)=xsinx,從而可得Pmax(x)=P(π)=-$\frac{π}{2}$;從而證明.
解答 解:(Ⅰ)由條件知,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=lnx+1,
故f(x)在(0,$\frac{1}{e}$)上單調遞減,在($\frac{1}{e}$,+∞)上單調遞增;
故fmin(x)=f($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{e}$;
(Ⅱ)對一切x∈[3,+∞)恒有f(x)≥g(x)成立,
即xlnx≥-x2+ax-6恒成立,(x∈[3,+∞));
即a≤lnx+x+$\frac{6}{x}$恒成立,(x∈[3,+∞));
令h(x)=lnx+x+$\frac{6}{x}$,則h′(x)=$\frac{{x}^{2}+x-6}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+3)(x-2)}{{x}^{2}}$;
故h(x)在[3,+∞)上是增函數(shù);
故hmin(x)=h(3)=5+ln3;
故實數(shù)a的取值范圍為(-∞,5+ln3].
(Ⅲ)證明:由題意,當x∈(0,2π)時,
要證:lnx+cosx+$\frac{3π}{2x}≥\frac{sinx}{x}$成立,
只需證xlnx≥sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$;
設P(x)=sinx-xcosx-$\frac{3π}{2}$,則P′(x)=xsinx,
故P(x)在(0,π)上是增函數(shù),在(π,2π)上是減函數(shù);
故Pmax(x)=P(π)=-$\frac{π}{2}$;
由(Ⅰ)知,fmin(x)=f($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{e}$>-$\frac{π}{2}$;
故當x∈(0,2π),lnx+cosx+$\frac{3π}{2x}≥\frac{sinx}{x}$恒成立.
點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題,屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | a-b=0 | B. | a-b≠0 | C. | a+b=0 | D. | a+b≠0 |
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