Question

7．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線與圓C：${（x-1）^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$相切，且圓C的圓心是雙曲線的其中一個焦點，則雙曲線的實軸長為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得圓C的圓心和半徑，雙曲線的漸近線方程，運用直線和圓相切的條件：d=r，化簡可得a=b，由c=1，可得a，進而得到實軸長2a．

解答 解：圓C：${（x-1）^2}+{y^2}=\frac{1}{2}$的圓心為（1，0），半徑為r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由直線和圓相切的條件：d=r，
可得$\frac{|b|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化簡為a=b，
由題意可得c=1，
由c²=a²+b²，可得a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有雙曲線的實軸長為2a=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的實軸長，注意運用直線和圓相切的條件：d=r，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．