Question

某知名保健品企業(yè)新研發(fā)了一種健康飲品，已知每天生產(chǎn)該種飲品最多不超過40千瓶，最少1千瓶，經(jīng)檢測在生產(chǎn)過程中該飲品的正品率P與每日生產(chǎn)產(chǎn)品瓶數(shù)x（x∈N^*，單位：千瓶）間的關(guān)系為P=

4200-x2

4500

，每生產(chǎn)一瓶飲品盈利4元，每出現(xiàn)一瓶次品虧損2元（注：正品率=飲品的正品瓶數(shù)÷飲品總瓶數(shù)×100%）
（Ⅰ）將日利潤y（元）表示成日產(chǎn)量x的函數(shù)；
（Ⅱ）求該種飲品日利潤的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

專題：計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意得，y=[x•

4200-x2

4500

4-2x（1-

4200-x2

4500

）]×1000化簡即可；
（Ⅱ）求導(dǎo)y′=

2

4500

×1000×（-3）（x²-2700），從而確定在1≤x≤40上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得，
y=[x•

4200-x2

4500

4-2x（1-

4200-x2

4500

）]×1000
=2000x

8100-x2

4500

；（x∈N^*，x≤40）
（Ⅱ）∵y′=

2

4500

×1000×（-3）（x²-2700），
∵1≤x≤40，
故y=2x

8100-x2

4500

在定義域上是增函數(shù)，
故當(dāng)x=40時(shí)，日利潤最大，
即該種飲品日利潤的最大值為2×40×

13

9

×1000=

1040000

9

（元）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題能力及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．