Question

若函數(shù)f（x）=x³-3x²+2，則方程f（f（x））=0的所有實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令f（x）=t，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)f（x）的極大值為f（0）=2，極小值為f（2）=-2，可得函數(shù)f（x）的零點(diǎn)有3個(gè)，設(shè)分別為x₁，x₂，x₃，則由三次函數(shù)的圖象特征可得，-2＜x₁＜0，0＜x₂＜2，x₃＞2．可得t³-3t²+2=0 有3個(gè)實(shí)數(shù)根，且-2＜t₁＜0，0＜t₂＜2，t₃＞2．求出函數(shù)y=f（t）的圖象和直線y=t₁ 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)、函數(shù)y=f（t）的圖象和直線y=t₂ 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，函數(shù)y=f（t）的圖象和直線y=t₃的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再把這些交點(diǎn)個(gè)數(shù)相加，即得所求．

解答： 解：令f（x）=t，則方程f（f（x））=0，即 t³-3t²+2=0．
由題意可得方程t=0，即 x³-3x²+2=0．
由于f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），故函數(shù)f（x）的極大值為f（0）=2，極小值為f（2）=-2，
故函數(shù)f（x）的零點(diǎn)有3個(gè)，設(shè)分別為x₁，x₂，x₃，則由三次函數(shù)的圖象特征可得，-2＜x₁＜0，0＜x₂＜2，x₃＞2．
由此可得t³-3t²+2=0 有3個(gè)實(shí)數(shù)根，且-2＜t₁＜0，0＜t₂＜2，t₃＞2．
由于函數(shù)y=f（t）的圖象和直線y=t₁ （最下邊的藍(lán)線）的交點(diǎn)有3個(gè)，
函數(shù)y=f（t）的圖象和直線y=t₂ （中間的藍(lán)線）的交點(diǎn)有3個(gè)，
函數(shù)y=f（t）的圖象和直線y=t₃（最上邊的藍(lán)線）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，
故滿足 t³-3t²+2=0的x值共有7個(gè)，
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，三次函數(shù)的圖象特征，屬于中檔題．