Question

9．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點和短軸的兩個頂點構(gòu)成的四邊形是一個正方形，且其周長為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過點B（0，m）（m＞0）的直線l與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點，點B關(guān)于原點的對稱點為D，若點D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=0，|EF|=2，點B在橢圓內(nèi)，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、由此能求出m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{4a=4\sqrt{2}}\\{b=c}\end{array}\right.$，
又∵a²=b²+c²，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，由題意知l的方程為x=0，
此時，E，F(xiàn)為橢圓的上下頂點，且|EF|=2，
∵點D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi)，且m＞0，
∴0＜m＜1，∴點B在橢圓內(nèi)，
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直線l與橢圓C有兩個公共點，
∴△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
設(shè)EF的中點G（x₀，y₀），
則${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{-2km}{2{k}^{2}+1}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+m=\frac{m}{2{k}^{2}+1}$，
∴G（$\frac{-2km}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{m}{2{k}^{2}+1}$），
∴|DG|=$\sqrt{（\frac{-2km}{2{k}^{2}+1}）^{2}+（\frac{{m}^{2}}{2{k}^{2}+1}+{m}^{2}）}$=$\frac{m\sqrt{4{k}^{2}+12{k}^{2}+4}}{2{k}^{2}+1}$，
|EF|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{2{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$，
∵點D總位于以線段EF為直徑的圓內(nèi)，
∴|DG|＜$\frac{|EF|}{2}$對于k∈R恒成立，
∴$\frac{m\sqrt{4{k}^{2}+12{k}^{2}+4}}{2{k}^{2}+1}$$＜\sqrt{2}•\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{2{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$，
化簡，得2m²k⁴+7m²k²+3m²＜2k⁴+3k²+1，
整理，得${m}^{2}＜\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}+3}$，
而g（k）=$\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}+3}$=1-$\frac{2}{{k}^{2}+3}$≥1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，等號成立，
∴m²$＜\frac{1}{3}$，由m＞0，．解得0＜m＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．