Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+a}{x}$，
（1）若a=1對于任意的x∈（0，+∞），f（x）＞m恒成立，求m的取值范圍；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由基本不等式求得f（x）的最小值，由恒成立思想即可得到m的范圍；
（2）由題意可得-a＜x²+2x在[1，+∞）恒成立，由于二次函數(shù)的值域求法，可得最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2，
由x＞0時，可得f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，取得最小值4，
則有m＜4．即m的取值范圍是（-∞，4）；
（2）對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
即為-a＜x²+2x在[1，+∞）恒成立，
由x²+2x=（x+1）²-1在[1，+∞）遞增，
即有x=1時取得最小值3，
則有-a＜3，解得a＞-3．
則a的取值范圍是（-3，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．