Question

10．過(guò)P（3，1）作圓C：（x-1）²+y²=1的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A、B．
（1）求直線AB的方程；
（2）若點(diǎn)Q為圓C上的任意一點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）求出以PC為直徑的圓的方程，結(jié)合已知圓的方程，由圓系方程可求得兩圓公共弦所在直線方程；
（2）設(shè)出M，Q的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式把Q的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示，代入已知圓的方程得答案．

解答 解：（1）圓C：（x-1）²+y²=1的圓心坐標(biāo)為C（1，0），半徑為1，
則PC的中點(diǎn)坐標(biāo)為N（2，$\frac{1}{2}$），|PC|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-0）^{2}}=\sqrt{5}$，
∴以N為圓心，PC為直徑的圓的方程為$（x-2）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{5}{4}$，
由（x-1）²+y²=1，得x²+y²-2x=0  ①，
由$（x-2）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{5}{4}$，得x²+y²-4x-y+3=0  ②，
①-②得：2x+y-3=0．
∴直線AB的方程為2x+y-3=0；
（2）設(shè)M（x，y），Q（x₁，y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{2x={x}_{1}+3}\\{2y={y}_{1}+1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2x-3}\\{{y}_{1}=2y-1}\end{array}\right.$，即Q（2x-3，2y-1），
代入圓C：（x-1）²+y²=1得：（2x-4）²+（2y-1）²=1，
即$（x-2）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．
∴PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是$（x-2）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程得求法，訓(xùn)練了代入法求曲線的軌跡方程，特別是（1）的求解，靈活運(yùn)用圓系方程求出兩圓公共弦所在直線方程，解法靈活，起到事半功倍的效果，是中檔題．