Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=kⁿ-1（k∈R），且{a_n}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，則k的取值集合是{0}．

Answer 1

分析 利用遞推關系可得：a₁=S₁=k-1；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=k^n-1（k-1）．對k分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其定義即可得出結論．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=kⁿ-1（k∈R），
∴a₁=S₁=k-1；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=kⁿ-1-（k^n-1-1）=k^n-1（k-1）．
k=1時，a_n=0，此時數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
k≠1，0時，此時數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為k-1，公比為k．
k=0時，a₁=-1，n≥2時，a_n=0．此時{a_n}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列．
∴k的取值集合是{0}．
故答案為：{0}．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其定義，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．