Question

數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若

a11

a10

＜-1，且它的前n項(xiàng)和S_n有最大值，那么當(dāng)S_n取的最小正值時(shí)，n=（　　）

• A、11
• B、17
• C、19
• D、21

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)題意判斷出d＜0、a₁₀＞0＞a₁₁、a₁₀+a₁₁＜0，利用前n項(xiàng)和公式和性質(zhì)判斷出S₂₀＜0、S₁₉＞0，再利用數(shù)列的單調(diào)性判斷出當(dāng)S_n取的最小正值時(shí)n的值．

解答： 解：由題意知，S_n有最大值，所以d＜0，
因?yàn)?span id="sishwsj" class="MathJye">

a11

a10

＜-1，所以a₁₀＞0＞a₁₁，
且a₁₀+a₁₁＜0，
所以S₂₀=10（a₁+a₂₀）=10（a₁₀+a₁₁）＜0，
則S₁₉=19a₁₀＞0，
又a₁＞a₂＞…＞a₁₀＞0＞a₁₁＞a₁₂
所以S₁₀＞S₉＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₀＞S₁₁＞…＞S₁₉＞0＞S₂₀＞S₂₁
又S₁₉-S₁=a₂+a₃+…+a₁₉=9（a₁₀+a₁₁）＜0，
所以S₁₉為最小正值，
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式以及S_n最值問題，要求S_n取得最小正值時(shí)n的值，關(guān)鍵是要找出什么時(shí)候a_n+1小于0且a_n大于0．