Question

5．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F到直線l：x-y+1=0上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設(shè)直線x-y+2=0與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|以及線段PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將焦點(diǎn)F（0，$\frac{1}{2}$p）代入直線l方程算出p=2，即可得到拋物線C的方程；
（2）將直線l方程與拋物線C消去y，得 $\frac{1}{4}$x²-x-1=0．由根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可算出線段PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，$\frac{1}{2}$p）
∴0-$\frac{1}{2}$p+1=0，可得p=2，
因此拋物線C的方程是x²=4y；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y得$\frac{1}{4}$x²-x-1=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=4，可得中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=2，
代入直線l方程，得縱坐標(biāo)為y_M=x_M+1=3．
即線段PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線與拋物線相交，求拋物線方程并求截得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．