Question

15．已知y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-4x+8，且當(dāng)x∈[-5，-1]時，n≤f（x）≤m恒成立，求m-n的最小值．

Answer 1

分析 由函數(shù)為奇函數(shù)，可得x＜0的解析式，f（x）=-x²-4x-8，求出f（x）在[-5，-1]的最值，由恒成立思想可得m，n的范圍，再由不等式的性質(zhì)，即可得到所求的最小值．

解答 解：y=f（x）是奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），
令x＜0，則-x＞0，由x＞0時，f（x）=x²-4x+8，
可得f（-x）=x²+4x+8=-f（x），
即有f（x）=-x²-4x-8，x＜0，
當(dāng)x∈[-5，-1]時，f（x）=-（x+2）²-4，
當(dāng)x=-2時，f（x）取得最大值-4，
當(dāng)x=-5時，f（x）取得最小值-13．
由當(dāng)x∈[-5，-1]時，n≤f（x）≤m恒成立，
可得n≤-13，m≥-4，
則m-n≥-4+13=9．可得m-n的最小值為9．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，同時考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用：求解析式，屬于中檔題．