Question

18．已知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2c²，則此橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），則2c²=$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，化為${y}_{0}^{2}=3{c}^{2}-{x}_{0}^{2}$．又$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，可得${x}_{0}^{2}$=$3{a}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$，利用$0≤{x}_{0}^{2}≤{a}^{2}$，利用離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），則2c²=$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x₀，-y₀）•（c-x₀，-y₀）=${x}_{0}^{2}-{c}^{2}$+${y}_{0}^{2}$，化為${y}_{0}^{2}=3{c}^{2}-{x}_{0}^{2}$．
又$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，∴${x}_{0}^{2}$=$3{a}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}}{{c}^{2}}$，
∵$0≤{x}_{0}^{2}≤{a}^{2}$，
∴$0≤3-\frac{^{2}}{{c}^{2}}≤1$，
∵b²=a²-c²，∴$3≤\frac{1}{{e}^{2}}≤4$，
∴$\frac{1}{2}≤e≤\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．