Question

3．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=2，AD=CD=1，點E、F分別為AB、BC的中點，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（1）求證：BC⊥平面ACD；
（2）求幾何體D-ABC的體積；
（3）在線段BD上是否存在一點G，使得平面GEF∥平面ACD，若存在，試確定點G的位置并予以證明，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知，AC=BC=$\sqrt{2}$，由勾股定理可得AC⊥BC，取AC中點O，連接DO，由面面垂直的性質(zhì)得OD⊥平面ABC，再由線面垂直的判斷得答案；
（2）（1）知，BC為三棱錐B-ACD的高，求出三棱錐B-ACD的體積，由等積法可得D-ABC的體積；
（3）取G為線段BD的中點，連接EF、EG、FG，由三角形的中位線定理結(jié)合面面平行的判定得答案．

解答 （1）證明：在圖1中，由題意知，AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
取AC中點O，連接DO，則DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，從而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC，
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD；
（2）解：由（Ⅰ）知，BC為三棱錐B-ACD的高，且BC=$\sqrt{2}$，S_△ACD=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
∴三棱錐B-ACD的體積為：V_B-ACD=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
由等積性知幾何體D-ABC的體積為：$\frac{\sqrt{2}}{6}$；
（3）解：若G為線段BD的中點，則平面GEF∥平面ACD．
證明：取G為線段BD的中點，連接EF、EG、FG，
∵點E、F、G分別為AB、BC、BD的中點，∴EF∥AC，EG∥AD，
AC?面ACD，AD?面ACD，EF?面ACD，EG?面ACD，
∴EF∥面ACD，EG∥面ACD，又EF∩EG=E，
∴平面GEF∥平面ACD．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．