【題目】已知向量,,
(1)求函數(shù)的最小正周期及取得最大值時對應(yīng)的x的值;
(2)在銳角三角形ABC中,角A、B、C的對邊為a、b、c,若,求三角形ABC面積的最大值并說明此時該三角形的形狀.
【答案】(1)最小正周期為π,最大值為, (2) ,等邊三角形
【解析】試題分析:(1)先利用誘導(dǎo)公式化簡的坐標(biāo),再利用平面向量的數(shù)量積、二倍角公式及配角公式化簡表達(dá)式 ,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解;(2)先利用求出角,再利用余弦公式、基本不等式和三角形的面積公式進(jìn)行求解.
試題解析:(1)由已知得,又
于是
∴ 的最小正周期為;
當(dāng),即 ,的最大值為.
(2)銳角三角形中,由(1)得
∴ ,∴
由余弦定理知 ∴
即 (當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號成立) ∴,
∴當(dāng)三角形為等邊三角形時面積取得最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是平行四邊形, ,側(cè)面底面, , , , 分別為, 的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(1)求證: 平面;
(2)如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)有一個正方形網(wǎng)格,其中每個最小正方形的邊長都為5 cm.現(xiàn)用直徑為2 cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上,求硬幣落下后與格線有公共點(diǎn)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,證明:函數(shù)在上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)?若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由. (參考數(shù)據(jù): , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為。
(1)求、的值;
(2)如果當(dāng),且時, ,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30女20),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表:(單位:人)
幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(Ⅰ)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空軍能力與性別有關(guān)?
(Ⅱ)經(jīng)過多次測試后,甲每次解答一道幾何題所用的時間在5—7分鐘,乙每次解答一道幾何題所用的時間在6—8分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率.
(Ⅲ)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進(jìn)行全程研究,記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附表及公式
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圍建一個面積為360的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修),其它三面圍墻要新建,在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進(jìn)出口,如圖所示,已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為(單位:),修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用為(單位:元)
(1)將表示為的函數(shù);
(2)試確定,使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,為了檢測兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況,隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本,檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi),則為合格品,否則為不合格品. 表1是甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表,圖1是乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖.
表1:甲套設(shè)備的樣本的頻數(shù)分布表
質(zhì)量指標(biāo)值 | [95,100) | [100,105) | [105,110) | [110,115) | [115,120) | [120,125] |
頻數(shù) | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
圖1:乙套設(shè)備的樣本的頻率分布直方圖
(Ⅰ)將頻率視為概率. 若乙套設(shè)備生產(chǎn)了5000件產(chǎn)品,則其中的不合格品約有多少件;
(Ⅱ)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān);
甲套設(shè)備 | 乙套設(shè)備 | 合計(jì) | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計(jì) |
(Ⅲ)根據(jù)表1和圖1,對兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較.
附:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).對于不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,設(shè)m=,n=,現(xiàn)有如下命題:
①對于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有m>0;
②對于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有n>0;
③對于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=n;
④對于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=-n.
其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號).
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