【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若，證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. （參考數(shù)據(jù)： ， ）

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（I）；求導(dǎo)得，只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，從而證明即可得結(jié)論；（II）討論時(shí)， 時(shí)兩種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，排除不合題意的情況，從而可得使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是.

求導(dǎo)得.

設(shè)，則與同號(hào).

所以，若，則對(duì)任意恒成立.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

又，

所以當(dāng)時(shí)，滿足.即當(dāng)時(shí)，滿足.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

由，又， 時(shí)， ，

取，則，

所以一定存在某個(gè)實(shí)數(shù)，使得.

故在上， ；在上， .

即在上， ；在上， .

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.此時(shí)函數(shù)只有1個(gè)極值點(diǎn)，不合題意，舍去；

②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故函數(shù)的單調(diào)情況如下表：

0

＋

極小值

要使函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則需滿足，即，

解得又， ，

所以.

此時(shí)， ，

又， ；

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)， 為直線的傾斜角). 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系. 圓C的極坐標(biāo)方程為，設(shè)直線l與圓C交于兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求角的取值范圍；

（Ⅱ）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的取值范圍.

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【題目】【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在平面直角坐標(biāo)系，已知曲線（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為。

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于， 兩點(diǎn)，求點(diǎn)到， 的距離之積。

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【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個(gè)正方形,且其周長(zhǎng)為.

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,若點(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi),求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)f(x)= -lnx-.

（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

（Ⅱ）求證：lnx≥-

（Ⅲ）判斷曲線y=f(x)是否位于x軸下方，并說(shuō)明理由.

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（Ⅱ）求證： ；

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A. f(x)＝x2＋bx－1(b∈R) B. f(x)＝2－|x－1|

C. f(x)＝2x－x2 D. f(x)＝x－sin x

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