Question

13．已知正數(shù)a，b滿足$\frac{1}{2a+4b}$+$\frac{1}{2a+b}$=1，則a+b的最小值是$\frac{1}{6}$（3+2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 設2a+4b=m，2a+b=n，問題轉化為正數(shù)mn滿足$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，求$\frac{1}{6}$m+$\frac{1}{3}$n的最小值，由基本不等式可得．

解答 解：設2a+4b=m，2a+b=n，
解得a=-$\frac{1}{6}m+\frac{2}{3}n$，b=$\frac{1}{3}$（m-n），
則正數(shù)m，n滿足$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，
∴a+b=-$\frac{1}{6}m+\frac{2}{3}n$+$\frac{1}{3}$（m-n）
=$\frac{1}{6}$m+$\frac{1}{3}$n=$\frac{1}{6}$（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{6}$（3+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（3+2$\sqrt{2}$）
當且僅當$\frac{2n}{m}$=$\frac{m}{n}$時取等號．
故答案為：$\frac{1}{6}$（3+2$\sqrt{2}$）

點評 本題考查基本不等式求最值，換元并整體代換是解決問題的關鍵，屬中檔題．