Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的一條漸近線的斜率相等，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線sinα•x+cosα•y-1=0相切（α為常數(shù)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)M（3，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|

PB

-

PA

|＜

3

時(shí)，求實(shí)數(shù)t取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的一漸近線斜率值，確定橢圓的離心率，結(jié)合橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線sinα•x+cosα•y-1=0相切，求出橢圓的幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）AB方程為y=k（x-3），代入橢圓方程，利用

OA

+

OB

=t

OP

，確定P的坐標(biāo)，代入橢圓方程得36k²=t²（1+4k²），由|AB|＜

3

，即可求實(shí)數(shù)t取值范圍．

解答： 解：（1）由題意知雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1的一漸近線斜率值為

3

2

，
所以e=

c

a

=

3

2

，所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，所以a2=4b2，
因?yàn)?span id="9cxaux4" class="MathJye">b=

1

sin2α+cos2α

=1，所以a²=4，b²=1．
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1???????（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），AB方程為y=k（x-3）?
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

?整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0．
由△=（24k²）²-4（1+4k²）•（36k²-4）＞0，
解得k2＜

1

5

．x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

…（7分）
所以

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)
則x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，y=

1

t

(y1+y2)=

-6k

t(1+4k2)

，
由點(diǎn)P在橢圓上，代入橢圓方程得36k²=t²（1+4k²）①…（9分）
又由|AB|＜

3

，即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜3，
將x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

，
代入得（8k²-1）•（16k²+13）＞0
則8k²-1＞0，k2＞

1

8

，
所以

1

5

＞k2＞

1

8

②…（11分）
由①，得t2=

36k2

1+4k2

，聯(lián)立②，解得3＜t²＜4
所以

3

＜t＜2或-2＜t＜-

3

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查橢圓的方程與性質(zhì)，利用直線與橢圓聯(lián)立，進(jìn)而利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．