Question

11．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，P是AD₁中點，Q是BD中點，E是DD₁中點．（1）求證：PQ∥平面D₁DCC₁；
（2）求異面直線CE和DP所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，CD₁，推導出PQ∥CD₁，由此能證明PQ∥平面D₁DCC₁．
（2）取A₁D₁中點F，連接FP，F(xiàn)E，F(xiàn)C，推導出四邊形FPDE是平行四邊形，從而∠FEC或其補角中的銳角或直角為異面直線CE和DP所成角，由此能求出異面直線CE和DP所成角的余弦值．

解答 證明：（1）連接AC，CD₁，
∵底面ABCD為正方形，Q是BD中點，
∴Q是AC中點，又P是AD₁中點，∴PQ∥CD₁，
∵CD₁?平面D₁DCC₁，PQ?平面D₁DCC₁，
∴PQ∥平面D₁DCC₁．
解：（2）取A₁D₁中點F，連接FP，F(xiàn)E，F(xiàn)C，
設正方體棱長為a．
∴FP$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}A{A_{1，}}又E是D{D_1}中點$，∴$DE\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}A{A_1}$，∴$FP\underline{\underline{∥}}DE$．
故四邊形FPDE是平行四邊形，∴FE∥DP
∴∠FEC或其補角中的銳角或直角為異面直線CE和DP所成角．
在$△EFC中，F(xiàn)E=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a，EC=\frac{{\sqrt{5}}}{2}a，F(xiàn)C\frac{3}{2}a$．
$cos∠FEC=\frac{{F{E^2}+E{C^2}-F{C^2}}}{2FE•EC}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
∴異面直線CE和DP所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．