Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{a}{x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，其中a∈R，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線x-3y=0，則切線方程為3x+y-4=0．

Answer 1

分析 由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線x-3y=0可得f′（1）=-3，可求出a的值，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出切線方程．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x}{4}$+$\frac{a}{x}$-lnx-$\frac{3}{2}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{4}-\frac{a}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線垂直于直線x-3y=0，
∴f′（1）=$\frac{1}{4}$-a-1=-3，
解得：a=$\frac{9}{4}$，
∴f（1）=1，
∴切線方程為y-1=-3（x-1），即3x+y-4=0．
故答案為：3x+y-4=0．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，求出a是關(guān)鍵，難度中檔．