Question

16．下列條件能判斷△ABC一定為鈍角三角形的是①②
①sinA+cosA=$\frac{1}{5}$
②$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0
③b=3，c=3$\sqrt{3}$，B=30°  
④tanA+tanB+tanC＞0．

Answer 1

分析 把已知等式兩邊平方判斷①；展開平面向量數(shù)量積判斷②；利用正弦定理求得角C判斷③；利用三角恒等變換變形判斷④．

解答 解：對于①，由sinA+cosA=$\frac{1}{5}$，兩邊平方得，2sinAcosA=-$\frac{24}{25}$，∴A為鈍角，
故①能判斷△ABC一定為鈍角三角形；
對于②，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，如圖，

可得ac•cos（π-B）=-ac•cosB＞0，則cosB＜0，
∴B為鈍角，故②能判斷△ABC一定為鈍角三角形；
③由b=3，c=3$\sqrt{3}$，B=30°，得$\frac{3}{sin30°}=\frac{3\sqrt{3}}{sinC}$，得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
則C=60°或C=120°，當(dāng)C=60°時(shí)，△ABC為直角三角形；
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的內(nèi)角，故內(nèi)角都是銳角，△ABC為銳角三角形．
故答案為：①②．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角形的求解方法，是中檔題．