Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

x

．
①求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②設(shè)g（x）=xf（x）-ax+1，若g（x）在（0，+∞）是存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
②求g′（x），g（x）在（0，+∞）上存在極值點(diǎn)，就是g′（x）=0在（0，+∞）上的實(shí)數(shù)解，并由g′（x）=0得到x=lna，x＞0，所以a＞1．

解答： 解：①f′（x）=

ex(x-1)

x2

；
∴x∈（-∞，0）和x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是：（-∞，0），（0，1）；單調(diào)增區(qū)間是：[1，+∞）；
②g（x）=e^x-ax+1，
∴g′（x）=e^x-a；
∵g（x）在（0，+∞）上存在極值點(diǎn)；
∴g′（x）=0在（0，+∞）上有實(shí)數(shù)解；
∴由g′（x）=0得：e^x=a，
∴x=lna；
∵x＞0，
∴l(xiāng)na＞0，
∴a＞1；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)找單調(diào)區(qū)間的方法，函數(shù)極值點(diǎn)的定義，函數(shù)極值點(diǎn)與方程g′（x）=0實(shí)數(shù)解的關(guān)系．