Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+1}{2-x}$，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）在區(qū)間（-∞，2）和（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x+1}{2-x}$=$\frac{x-2+3}{2-x}$=-1+$\frac{3}{2-x}$=-$\frac{3}{x-2}$-1，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，2）和（2，+∞）上都是單調(diào)增函數(shù)；
證明：任取x₁、x₂∈（-∞，2），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{3}{{x}_{1}-2}$-1）-（-$\frac{3}{{x}_{2}-2}$-1）
=$\frac{3}{{x}_{2}-2}$-$\frac{3}{{x}_{1}-2}$
=$\frac{3{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{（x}_{1}-2）{（x}_{2}-2）}$；
∵x₁＜x₂＜2，
∴3（x₁-x₂）＜0，（x₁-2）（x₂-2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（-∞，2）上是單調(diào)增函數(shù)；
同理f（x）在區(qū)間（2，+∞）上也是單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．