Question

14．已知函數(shù) f（x）=ax³+bx²+cx在R上是奇函數(shù)，且 f（-1）=-2，f（2）=10．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）說(shuō)明 f（x）在R上的單調(diào)性（不需要證明）；
（Ⅲ）若關(guān)于x的不等式 f（x²-9）+f（kx+3k）＜0在 x∈（0，1）上恒成立，求實(shí)數(shù)k是的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由 f（x）在R上是奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x），代入整理即可求解b，然后在利用f（-1）=-2，f（2）=10可求a，c
（II）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義即可判斷
（III）由f（x²-9）+f（kx+3k）＜0在 且f（x）在R上是奇函數(shù)可得f（x²-9）＜f（-kx-3k），結(jié)合f（x）在（0，1）上單調(diào)性可得x²-9＜-kx-3k即x²+kx+3k-9＜0在 x∈（0，1）上恒成立，法一：令g（x）=x²+kx+3k-9，x∈（0，1），結(jié)合二次函數(shù)的實(shí)根分布即可求解
法二：由x²+kx+3k-9＜0在 x∈（0，1）上恒成立，分離可得k$＜\frac{9-{x}^{2}}{3+x}$=3-x在 x∈（0，1）上恒成立，可求

解答 解：（I）∵f（x）=ax³+bx²+cx在R上是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
即-ax³+bx²-cx=-ax³-bx²-cx
∴2bx=0即b=0
∵f（-1）=-2，f（2）=10．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a-c=-2}\\{8a+2c=10}\end{array}\right.$
解可得，a=c=1
∴f（x）=x³+x
（II）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增
（III）∵f（x²-9）+f（kx+3k）＜0在 且f（x）在R上是奇函數(shù)
∴f（x²-9）＜-f（kx+3k）=f（-kx-3k）在 x∈（0，1）上恒成立
由（II）知函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增
∴x²-9＜-kx-3k即x²+kx+3k-9＜0在 x∈（0，1）上恒成立
法一：令g（x）=x²+kx+3k-9，x∈（0，1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=3k-9≤0}\\{g（1）=4k-8≤0}\end{array}\right.$
解得k≤2
k的取值范圍為空{(diào)k|k≤2}
法二：∵x²+kx+3k-9＜0在 x∈（0，1）上恒成立
∴（x+3）k＜9-x²
∵x∈（0，1）∴3-x＞0
∴k$＜\frac{9-{x}^{2}}{3+x}$=3-x在 x∈（0，1）上恒成立
令h（x）=3-x，x∈（0，1）
則2＜h（x）＜3
∴k≤2
k的取值范圍為空{(diào)k|k≤2}

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及函數(shù)恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的基本知識(shí)并能靈活的應(yīng)用．