Question

6．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，D為橢圓上任意一點(diǎn)，△DF₁F₂面積的最大值為1，橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)T為直線x=2上任意一點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F₂作直線TF₂的垂線交橢圓E于點(diǎn)P，Q，線段PQ中點(diǎn)為N，證明：O，N，T三點(diǎn)共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）由△DF₁F₂面積的最大值為1，橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$\frac{1}{2}×2c×b$=1即bc=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²=b²+c²，解出即可；
（2）設(shè)TF₂的斜率為k，k=0時(shí)成立．當(dāng)k≠0時(shí)，直線F₂T的方程為：y=k（x-1），可得T（2，k），利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得：k_PQ=$-\frac{1}{k}$．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．利用“點(diǎn)差法”可得$\frac{{x}_{0}}{2}+{k}_{PQ}•{y}_{0}$=0，可得k_ON，只要證明k_OT=k_ON，即可．

解答 （1）解：∵△DF₁F₂面積的最大值為1，橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×2c×b$=1即bc=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得b=c=1，a²=2．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）證明：設(shè)TF₂的斜率為k，k=0時(shí)成立．
當(dāng)k≠0時(shí)，直線F₂T的方程為：y=k（x-1），可得T（2，k），
∴k_OT=$\frac{k}{2}$．
∵F₂T⊥PQ，
∴k_PQ=$-\frac{1}{k}$．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)N（x₀，y₀）．
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{2}$+${y}_{1}^{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{2}+{y}_{2}^{2}$=1，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{2}+（{y}_{1}^{2}-{y}_{2}^{2}）$=0，
∴$\frac{{x}_{0}}{2}+{k}_{PQ}•{y}_{0}$=0，

∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{2{k}_{PQ}}$=$\frac{k}{2}$=k_ON，
∴k_OT=k_ON，
∴三點(diǎn)O，N，T共線．
綜上可得：三點(diǎn)O，N，T共線．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、“點(diǎn)差法”、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．