Question

14．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)b_n=$\frac{4}{{（a}_{n}-1）{（a}_{n+1}-1）}$，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若對(duì)n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由（n+1）a_n-na_n+1=1，可得：（n+2）a_n+1-（n+1）a_n+2=1，
兩式相減，得2（n+1）a_n+1=（n+1）（a_n+2+a_n），
即2a_n+1=a_n+2+a_n，
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{2{a}_{1}-{a}_{2}=1}\end{array}\right.$，解得a₂=5，
∴公差d=a₂-a₁=2．
故a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（Ⅱ）{b_n}=$\frac{4}{{（a}_{n}-1）{（a}_{n+1}-1）}$=$\frac{4}{2n×（2n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
∵T_n≤k（n+4）恒成立，
∴k≥$\frac{n}{（n+1）（n+4）}$=$\frac{n}{{n}^{2}+5n+4}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{4}{n}}+5}$=$\frac{1}{9}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)等號(hào)成立，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍為$[\frac{1}{9}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．