Question

13．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的虛軸長為2，離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為雙曲線的兩個焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若雙曲線上有一點(diǎn)P，滿足∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的離心率，以及虛軸長，求解a，b，得到雙曲線的方程．
（2）利用雙曲線的簡單性質(zhì)以及定義，結(jié)合余弦定理三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）∵2b=2∴b=1
又$e=\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$∴${e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{4}$，
∴a²=4，
∴雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．
（2）由雙曲線方程可知$2a=4，2c=2\sqrt{5}$，
∴${|{{F_1}{F_2}}|^2}=20$，
由雙曲線定義有||PF₁|-|PF₂||=4
兩邊平方得${|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}-2|{P{F_1}}||{P{F_2}}|=16$-------①
由余弦定理，有$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos6{0°}^{\;}$，
∴${|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}-|{P{F_1}}||{P{F_2}}|=20$----------②
由①②可得|PF₁||PF₂|=20-16=4，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}=\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin6{0°}^{\;}=\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．