Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N^*），且a₃+a₇=20，a₂+a₅=14．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，求證：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N^*），得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，解出首項(xiàng)和公差，從而寫出通項(xiàng)公式和求和公式；
（Ⅱ）根據(jù){a_n}的通項(xiàng)，化簡b_n，并拆成兩項(xiàng)的差，注意前面乘一個(gè)系數(shù)，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，應(yīng)注意消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng)，可以多寫幾項(xiàng)，找出規(guī)律．

解答 解：（Ⅰ）由2a_n+1=a_n+2+a_n（n∈N^*），得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
∵a₃+a₇=20，a₂+a₅=14．
∴a₁=2，d=2，
∴a_n=2+（n-1）×2=2n，
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
當(dāng)n∈N⁺，S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列求和的重要方法：裂項(xiàng)相消求和，應(yīng)注意求和時(shí)哪些項(xiàng)消去，哪些項(xiàng)保留．