Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（{a＞b＞0}），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是左右焦點，A，B是長軸兩端點，點P（a，b）與F₁，F(xiàn)₂圍成等腰三角形，且${S_{△P{F_1}{F_2}}}$=$\sqrt{3}$．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點Q是橢圓上異于A，B的動點，直線x=-4與QA，QB分別交于M，N兩點．
（i）當$\overrightarrow{Q{F_1}}$=λ$\overrightarrow{MN}$時，求Q點坐標；
（ii）過點M，N，F(xiàn)₁三點的圓是否經(jīng)過x軸上不同于點F₁的定點？若經(jīng)過，求出定點坐標，若不經(jīng)過，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得，F(xiàn)₁F₂=PF₂，即（a-c）²+b²=4c²，再由${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\sqrt{3}$，得bc=$\sqrt{3}$，然后結(jié)合隱含條件求得a，b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）（i）由$\overrightarrow{Q{F}_{1}}=λ\overrightarrow{MN}$，得則QF₁⊥x軸，由（Ⅰ）求得F₁（-1，0），設(shè)Q（-1，y），代入橢圓方程即可求得Q坐標；
（ii）設(shè)Q（x₀，y₀），得直線QA方程為$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，求出M點的坐標為（-4，$-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）．同理得N的坐標為（-4，$-\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$）．進一步求出MN，設(shè)圓心坐標為（m，n），若x軸上存在定點E（λ，0）滿足條件，則有$m=\frac{λ-1}{2}，n=\frac{1}{2}（\frac{-6{y}_{0}}{{x}_{0}-2}+\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）=\frac{3（{x}_{0}+1）}{{y}_{0}}$，由題意可得$（m+4）^{2}+\frac{M{N}^{2}}{4}={n}^{2}+\frac{E{{F}_{1}}^{2}}{4}$．兩式聯(lián)立求得λ值得答案．

解答 解：（Ⅰ）F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由題意可得，F(xiàn)₁F₂=PF₂，
∴（a-c）²+b²=4c²，
由${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}•2c•b=bc=\sqrt{3}$，
又a²=b²+c²，聯(lián)立可得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）（i）∵$\overrightarrow{Q{F}_{1}}=λ\overrightarrow{MN}$，
∴QF₁∥MN，則QF₁⊥x軸，
由（Ⅰ）知，c²=1，則F₁（-1，0），
設(shè)Q（-1，y），則有$\frac{1}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，即y=$±\frac{3}{2}$，
∴Q（-1，$±\frac{3}{2}$）；
（ii）設(shè)Q（x₀，y₀），則${k}_{QA}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$，直線QA方程為$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}（x+2）$，
令x=-4，得M點的坐標為（-4，$-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$）．
同理${k}_{QB}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，直線QB的方程為$y=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，
得N的坐標為（-4，$-\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$）．
MN=|$\frac{-6{y}_{0}}{{x}_{0}-2}-\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$|=$\frac{3（{x}_{0}+4）}{|{y}_{0}|}$．
設(shè)圓心坐標為（m，n），若x軸上存在定點E（λ，0）滿足條件，則有
$m=\frac{λ-1}{2}，n=\frac{1}{2}（\frac{-6{y}_{0}}{{x}_{0}-2}+\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）=\frac{3（{x}_{0}+1）}{{y}_{0}}$，
由題意可得$（m+4）^{2}+\frac{M{N}^{2}}{4}={n}^{2}+\frac{E{{F}_{1}}^{2}}{4}$．
代入得$（\frac{λ-1}{2}+4）^{2}+\frac{1}{4}•\frac{9（{x}_{0}+4）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}=\frac{9（{x}_{0}+1）^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}+$$\frac{（λ+1）^{2}}{4}$．
即$（\frac{λ-1}{2}+4）^{2}-\frac{（λ+1）^{2}}{4}=\frac{36（{x}_{0}+1）^{2}-9（{x}_{0}+4）^{2}}{4{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{9（3{{x}_{0}}^{2}-12）}{4{{y}_{0}}^{2}}=-9$．
整理得λ=-7．
∴x軸上存在點E（-7，0）滿足題意．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力及運算求解能力，屬難題．