Question

設(shè)f（x）=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2-bx，b∈R
（1）當(dāng)b=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)f（x）在R上有且僅有一個零點(diǎn)時，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分別令f′（x）＜0，f′（x）＞0，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對b討論，由于函數(shù)f（x）在R上有且僅有一個零點(diǎn)，則函數(shù)的極大值小于0，或者是函數(shù)的極小值大于0，解出參數(shù)范圍即可．

解答： 解：（1）f′（x）=x²+（b-1）x-b，由于b=1，則有
f′（x）=x²-1，
令f′（x）＞0，得x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，得-1＜x＜1，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1）．
（2）f′（x）=x²+（b-1）x-b=（x+b）（x-1），
則-b，1為方程f′（x）=0的兩根，
若b=-1，則f′（x）≥0，f（x）遞增，成立；
若b＞-1，則f（x）在（-∞，-b），（1，+∞）遞增，在（-b，1）遞減，
則f（1）為函數(shù)f （x）極小值，且為-

b

2

-

1

6

，f（-b）為極大值，且為

b2

2

+

1

6

b3．
由于函數(shù)f （x） 在R上有且僅有一個零點(diǎn)，
則-

b

2

-

1

6

＞0或

b2

2

+

1

6

b3＜0，解得，-1＜b＜-

1

3

；
若b＜-1時，則f（x）在（-∞，-b），（1，+∞）遞減，在（-b，1）遞增．
則f（1）為函數(shù)f （x）極大值，且為-

b

2

-

1

6

，f（-b）為極小值，且為

b2

2

+

1

6

b3．
由于函數(shù)f （x） 在R上有且僅有一個零點(diǎn)，
則-

b

2

-

1

6

＜0或

b2

2

+

1

6

b3＞0，解得，-3＜b＜-1．
則b的取值范圍為：-3＜b＜-

1

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問題的能力，難度不大．