Question

8．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，則雙曲線C的漸近線與圓D：（x-c）²+y²=2a²（c
為雙曲線的半焦距）的位置關(guān)系為（　�。�

• A． 相離
• B． 相切
• C． 相交
• D． 不確定

Answer 1

分析 由離心率公式和a，b，c的關(guān)系可得b=$\sqrt{2}$a，可得漸近線方程，由圓心D（c，0）到漸近線的距離，即可得到漸近線與圓相切．

解答 解：由e=$\sqrt{3}$，即有$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，即c²=3a²
，即a²+b²=3a²，即有b=$\sqrt{2}$a，
則雙曲線的漸近線方程為y=$±\sqrt{2}$x，
圓心D（c，0）到漸近線的距離為d=$\frac{|\sqrt{2}c|}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$c．
由c=$\sqrt{3}$a，得d=$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\sqrt{3}$a=$\sqrt{2}$a．
則有漸近線與圓D相切．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查漸近線方程和離心率的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法，屬于中檔題．