Question

20．已知 $sin（α+\frac{π}{6}）-cosα=\frac{1}{3}$，則 $2sinαcos（α+\frac{π}{6}）$=（　　）

• A． $-\frac{5}{18}$
• B． $\frac{5}{18}$
• C． $-\frac{7}{9}$
• D． $\frac{7}{9}$

Answer 1

分析 首先對函數(shù)的關(guān)系式進行靈活的恒等變換，進一步利用誘導公式和2倍角公式進行變形，進一步求出結(jié)果．

解答 解：$2sinαcos（α+\frac{π}{6}）$=$2sinα（\frac{\sqrt{3}}{2}cosα-\frac{1}{2}sinα）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2α-\frac{1-cos2α}{2}$
=$sin（2α+\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$
又由于$sin（α+\frac{π}{6}）-cosα$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα+\frac{1}{2}cosα-cosα$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα$
=$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$
由$sin（2α+\frac{π}{6}）=cos[\frac{π}{2}-（2α+\frac{π}{6}]$
=$cos（2α-\frac{π}{3}）=1-2{sin}^{2}（α-\frac{π}{6}）$
=1-$\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$
故原式=$\frac{7}{9}-\frac{1}{2}=\frac{5}{18}$
故選：B

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，誘導公式的應用，及相關(guān)的運算問題，主要考查學生對關(guān)系式的靈活變換能力．