Question

13．在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E為PC中點(diǎn)，底面ABCD是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求證：BE∥平面APD；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，證明EF∥CD，EF∥AB，推出BE∥AF，通過(guò)直線與平面平行的判定定理證明BE∥平面PAD．
（2）證明DB⊥BC．PD⊥BC，然后證明BC⊥平面PBD．

解答 證明：（1）取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，
∴EF∥CD，且$EF=\frac{1}{2}CD=1$，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，
四邊形ABEF為平行四邊形，∴BE∥AF，BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD
（2）平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD
在直角梯形ABCD中，$BD=BC=\sqrt{2}，DC=2$，
∴∠CBD=90°，即DB⊥BC．
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理以及直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．