Question

19．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=3，b=2，cosC=$\frac{3}{4}$．
（I）求sinA的值；
（Ⅱ）求tan（B+C）的值．

Answer 1

分析 （I）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，由余弦定理可得c，即可利用正弦定理解得sinA的值．
（Ⅱ）由余弦定理可求cosA，利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式化簡所求后，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求值得解．

解答 解：（I）在△ABC中，∵a=3，b=2，cosC=$\frac{3}{4}$，∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{9+4-2×3×2×\frac{3}{4}}$=2，
∴由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{7}}{4}}{2}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．
（Ⅱ）∵由（I）可得：sinA=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，a=3，b=c=2．
又∵cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4+4-9}{2×2×2}$=-$\frac{1}{8}$，
∴tan（B+C）=-tanA=-$\frac{sinA}{cosA}$=-$\frac{\frac{3\sqrt{7}}{8}}{-\frac{1}{8}}$=3$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．