Question

10．已知曲線C：y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$．求：
（1）曲線C上的橫坐標為2點切線方程？
（2）上問中的曲線與切線是否存在公共點？

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)，設出切點，求得切線的斜率，運用點斜式方程可得切線的方程，代入點（2，4），解方程可得所求；
（2）由切線方程和曲線，可得所求的公共點．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{4}{3}$的導數(shù)為y′=x²，
設切點為（m，$\frac{1}{3}$m³+$\frac{4}{3}$），
即有切線的斜率為k=m²，
則切線的方程為y-$\frac{1}{3}$m³-$\frac{4}{3}$=m²（x-m），
代入點（2，4），可得4-$\frac{1}{3}$m³-$\frac{4}{3}$=m²（2-m），
解得m=2或-1．
即有切線的方程為y=x+2或y=4x-4；
（2）當切線為y=4x-4，可得與曲線存在公共點為（2，4）；
當切線為y=x+2，可得與曲線存在公共點為（2，4），（-1，1）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，注意設出切點，考查導數(shù)的幾何意義，正確求導和運用直線方程是解題的關(guān)鍵．