Question

17．函數(shù)y=$\frac{4-sinx}{3-cosx}$的最大值為$\frac{{6+\sqrt{6}}}{4}$．

Answer 1

分析 函數(shù)$y=\frac{4-sinx}{3-cosx}$表示過A（cosx，sinx），B（3，4）的直線的斜率，由直線和圓相切可得．

解答 解：函數(shù)$y=\frac{4-sinx}{3-cosx}$表示過A（cosx，sinx），B（3，4）的直線的斜率，
由幾何意義可得過定點（3，4）與單位圓相切時的切線斜率為最值，
故設切線的斜率為k，則直線方程為y-4=k（x-3），即kx-y-3k+4=0，
由點到直線的距離公式和直線與圓相切可得$\frac{{|{-3k+4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，
解得$k=\frac{{6±\sqrt{6}}}{4}$，∴${k_{max}}=\frac{{6+\sqrt{6}}}{4}$．
故答案為：$\frac{{6+\sqrt{6}}}{4}$

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，轉化為直線的斜率以及直線和圓相切是解決問題的關鍵，屬基礎題．