Question

8．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=2，BC=3，EF∥AB，且AE=1，M，N分別是FC，CD的中點．將梯形ABCD沿EF折起，使得BC=$\sqrt{3}$，連接AD，BC，AC得到（圖2）所示幾何體．

（Ⅰ）證明：AF∥平面BMN；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點P，連結(jié)PB、PN、PM，連結(jié)DM．通過四邊形ABMD是平行四邊形及線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）以B為坐標原點，建立空間直角坐標系B-xyz，則所求值即為平面ADC的法向量與平面ABC的一個法向量的夾角的余弦值的絕對值的相反數(shù)，計算即可．

解答 （Ⅰ）證明：取AC中點P，連結(jié)PB、PN、PM．
則PN∥AD，AF∥PM．
連結(jié)DM，則DM∥EF，DM=EF，
由題意知EF∥AB，EF=AB，
∴DM∥AB，DM=AB，
∴四邊形ABMD是平行四邊形，
∴MB∥AD，∴MB∥NP，
∴B、M、N、P共面，
∴PM?平面BMN，
又∵AF?平面BMN，
∴AF∥平面BMN；
（Ⅱ）解：由題意知EF⊥FB，EF⊥FC，∴EF⊥平面FBC，
∵EF∥AB，∴AB⊥平面FBC，
又BC²+BF²=FC²，∴BC⊥BF，
以B為坐標原點，建立空間直角坐標系B-xyz如圖，
則B（0，0，0），A（0，0，2），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
∴$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，0，-2），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
設(shè)平面ADC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-2z=0}\\{\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
又平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{2\sqrt{57}}{19}$，
由圖可知二面角B-AC-D為鈍角，
∴二面角B-AC-D的余弦值為-$\frac{2\sqrt{57}}{19}$．

點評 本題考查線面平行的判定，求二面角的三角函數(shù)值，涉及到勾股定理及向量數(shù)量積運算等知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．