Question

20．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=2，BC=3，EF∥AB，且AE=1，M，N分別是FC，CD的中點(diǎn)．將梯形ABCD沿EF折起，使得BM=1，連接AD，BC，AC得到（圖2）所示幾何體．

（Ⅰ）證明：BC⊥平面ABFE；
（Ⅱ）證明：AF∥平面BMN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只要證明BC與平面ABFE內(nèi)的AB，BF垂直即可；
（Ⅱ）連接DF，只要證明DF∥MN，AD∥BM，兩腰兩個平面平行的判定定理可得．

解答 證明：（Ⅰ）由已知得到BF=BM=F=，∴∠BFC=60°，由余弦定理得到BC=$\sqrt{3}$，∴BC²+BF²=FC²，∴BC⊥FB，
又AB⊥BC，∴BC⊥平面ABFE；
（Ⅱ）連接DF，∵M(jìn)，N是FC，CD的中點(diǎn)，∴MN∥DF，
∵DE∥FC，AE∥FB，
∴平面AED∥平面BFM，并且，∠A=∠B=90°，EF∥AB，
∴幾何體AED-BFM是正三棱柱，∴AB∥DM∴AD∥BM，
∴平面ADF∥平面BMN．
又AF?平面ADF，
∴AF∥平面BMN．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直和線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是熟練掌握定理成立的條件，正確運(yùn)用．