Question

7．設f（x）是定義在R上且f（x+2）=f（2-x），f（7-x）=f（7+x），在閉區(qū)間[0，7]上，使f（x）=0的x值僅為1和3．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）試求方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2016，2016]上根的個數，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據條件，可知函數的周期為10，判斷f（x）與f（-x）的關系，得出結論；
（2）根據函數的周期性可判斷函數在[0，2016]有404個 在[-2016，0]也有404個，所以在[-2016，2016]有808個根．

解答 解：（1）f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）的對稱軸為x=2，
f（7-x）=f（2-（-5+x））=f（2+（-5+x））=f（-3+x）=f（7+x） 
所以f（x-3）=f（x+7）
f（x）=f（x-3+3）=f（x+7+3）=f（x+10）
∴f（x）=f（x+10）
以10為周期的周期函數．
f（-x）=f（2-（x+2））=f（2+x+2）=f（x+4）≠f（x+10）
∴函數不是偶函數 
因為[0，7]上只有f（1）=f（3）=0 
所以f（0）≠0，所以不是奇函數 
∴f（x）是非奇非偶函數；
（2）在[0，7]內有兩個根，
∴函數以10為周期，那么在[0，2016]有404個 
在[-2016，0]也有404個，所以在[-2016，2016]有808個根

點評 考查了抽象函數的周期性判斷和利用周期性解決實際問題．屬于常規(guī)題型，應熟練掌握．