Question

15．設a＞0，且x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3ax-y-9≤0}\\{x+4y-16≤0}\\{x+a≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若z=x+y的最大值為7，則$\frac{y}{x+3}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{13}{8}$
• B． $\frac{15}{8}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{17}{8}$

Answer 1

分析 作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，利用z=x+y的最大值為7，推出直線x+y=7與x+4y-16=0的交點A必在可行域的邊緣頂點，得到a，利用所求的表達式的幾何意義，可得$\frac{y}{x+3}$的最大值．

解答 解：作出不等式組約束條件$\left\{\begin{array}{l}{3ax-y-9≤0}\\{x+4y-16≤0}\\{x+a≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，直線x+
y=7與x+4y-16=0的交點A必在可行域的邊緣頂點．$\left\{\begin{array}{l}{x+y=7}\\{x+4y-16-0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（4，3）在3ax-y-9=0上，
可得12a-3-9=0，解得a=1．
$\frac{y}{x+3}$的幾何意義是可行域的點與（-3，0）連線的斜率，由可行域可知（-3，0）與B連線的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x+4y-16=0}\end{array}\right.$可得B（-1，$\frac{17}{4}$），$\frac{y}{x+3}$的最大值為：$\frac{\frac{17}{4}}{-1+3}$=$\frac{17}{8}$．
故選：D．

點評 本題給出二元一次不等式組，求在已知目標函數(shù)的最大值為1的情況下求$\frac{y}{x+3}$的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于中檔題．考查分析問題解決問題的能力．