Question

18．已知集合Ω_n={X|X=（x₁，x₂，…，x_i，…，x_n），x_i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n≥3．?X={x₁，x₂，…，x_i，…，x_n}∈Ω_n，稱x_i為X的第i個(gè)坐標(biāo)分量．若S⊆Ω_n，且滿足如下兩條性質(zhì)：
①S中元素個(gè)數(shù)不少于4個(gè)；
②?X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m個(gè)坐標(biāo)分量是1；
則稱S為Ω_n的一個(gè)好子集．
（1）S={X，Y，Z，W}為Ω₃的一個(gè)好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），寫出Z，W；
（2）若S為Ω_n的一個(gè)好子集，求證：S中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)2^n-1；
（3）若S為Ω_n的一個(gè)好子集，且S中恰有2^n-1個(gè)元素，求證：一定存在唯一一個(gè)k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k個(gè)坐標(biāo)分量都是1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)好子集的定義直接寫出Z，W，
（2）若S為Ω_n的一個(gè)好子集，考慮元素X′=（1-x₁，1-x₂，…，1-x_i，…，1-x_n），進(jìn)行判斷證明即可．
（3）根據(jù)好子集的定義，證明存在性和唯一性即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分
（Ⅱ）對(duì)于X⊆Ω，考慮元素X′=（1-x₁，1-x₂，…，1-x_i，…，1-x_n），
顯然X′∈Ω_n，?X，Y，X′，對(duì)于任意的i∈{1，2，…，n}，x_i，y_i，1-x_i不可能都為1，
可得X，X′不可能都在好子集S中…4分
又因?yàn)槿《╔，則X′一定存在且唯一，而且X≠X′，
且由X的定義知道，?X，Y∈Ω，X′=Y′?X=Y…6分
這樣，集合S中元素的個(gè)數(shù)一定小于或等于集合Ω_n中元素個(gè)數(shù)的一半，
而集合Ω_n中元素個(gè)數(shù)為2ⁿ，所以S中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)2^n-1；…8分
（Ⅲ）?X={x₁，x₂，…，x_i，…，x_n}，．?Y={y₁，y₂，…，y_i，…，y_n}∈Ω_n，
定義元素X，Y的乘積為：XY={x₁y₁，x₂y₂，…，x_iy_i，…，x_ny_n}，顯然XY∈Ω_n，．
我們證明：
“對(duì)任意的X={x₁，x₂，…，x_i，…，x_n}∈S，
都有XY∈S．”
假設(shè)存在X，Y∈S，使得XY∉S，
則由（Ⅱ）知，（XY）′={1-x₁y₁，1-x₂y₂，…，1-x_iy_i，…1-x_n-1y_n-1，1-x_ny_n}∈S，
此時(shí)，對(duì)于任意的k∈{1，2，…n}，x_k，y_k，1-x_ky_k不可能同時(shí)為1，矛盾，
所以XS∈S．
因?yàn)镾中只有2^n-1個(gè)元素，我們記Z={z₁，z₂，…，z_i，…，z_n}為S中所有元素的乘積，
根據(jù)上面的結(jié)論，我們知道={z₁，z₂，…，z_i，…，z_n}∈S，
顯然這個(gè)元素的坐標(biāo)分量不能都為0，不妨設(shè)z_k=1，
根據(jù)Z的定義，可以知道S中所有元素的k坐標(biāo)分量都為1 …11分
下面再證明k的唯一性：
若還有z_t=1，即S中所有元素的t坐標(biāo)分量都為1，
所以此時(shí)集合S中元素個(gè)數(shù)至多為2^n-2個(gè)，矛盾．
所以結(jié)論成立…13分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及與集合有關(guān)的新定義，讀懂題意是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．