Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x²-3x，記F（x）=f（x）+g（x）
（1）求曲線y=f（x）在x=e處的切線方程；
（2）求函數(shù)F（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）由y=lnx，知y′=$\frac{1}{x}$，故曲線y=lnx在點M（e，1）處切線的斜率k=$\frac{1}{e}$，由此能求出曲線y=lnx在x=e處切線的方程．
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得函數(shù)的極值點．

解答 解：（1）∵y=lnx，
∴y′=$\frac{1}{x}$，
∴曲線y=lnx在x=e處切線的斜率k=$\frac{1}{e}$，
曲線y=lnx在x=e處切線的方程為：y-1=$\frac{1}{e}$（x-e），
整理，得y=$\frac{1}{e}$x．
在x=e處的切線方程為：x-ey=0，
（2）F（x）=lnx+x²-3x，
$F'（x）=\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，
當(dāng)$\frac{1}{2}＜x＜1$時，F(xiàn)'（x）＜0，
1＜x＜2時，F(xiàn)'（x）＞0，
所以F（x）_min=F（1）=-2，
又因為$F（2）=ln2-2，F(xiàn)（\frac{1}{2}）=-ln2-\frac{5}{4}$，
因為$F（2）＞F（\frac{1}{2}）$，
所以F（x）_max=ln2-2．

點評 本題考查了考查曲線的切線方程的求法，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是正確求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，屬于中檔題．