Question

已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)(是圓心)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.線段的中垂線分別與交于兩點(diǎn)．

（I）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）直線經(jīng)過F2，與拋物線y2=4x交于A1，A2兩點(diǎn)，與 交于B1，B2兩點(diǎn).當(dāng)以B1B2為直徑的圓經(jīng)過F1時(shí)，求|A1A2|.

Answer 1

解：（I）由題意得，圓的半徑為，且 

從而  ………… 2分

∴ 點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,   ………… 4分

其中長軸,得到,焦距，

則短半軸

橢圓方程為:     ………… 5分

   （Ⅱ）當(dāng)直線 與x軸垂直時(shí)，B1(1，),B2(1，-),又F1(-1,0),

   此時(shí)，所以以B1B2為直徑的圓不經(jīng)過F1.不滿足條件.……………（6分）

當(dāng)直線 不與x軸垂直時(shí)，設(shè)L：y=k(x-1)

        由

    因?yàn)榻裹c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以恒有兩個(gè)交點(diǎn).

        設(shè)B1(x1,y1)，B2（x2,y2）,則

        因?yàn)橐訠1B2為直徑的圓經(jīng)過F1，所以，又F1(-1，0)

        所以（-1-x1）(-1-x2)+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0

        所以解得           ……………（8分）

        由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0

        因?yàn)橹本� 與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以

        設(shè)A1(x3,y3) ，A2(x4,y4)，則

        所以 .     …………(12分)