Question

16．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩墻足夠長），用16m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB、BC兩邊），在P處有一棵樹與墻CD、AD的距離分別是a（0＜a＜12）m和4m，現(xiàn)需要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細(xì)）．設(shè)矩形ABCD的面積是ym²，長DA為xm．
（1）設(shè)y=f（x），求y=f（x）的解析式并求出其定義域；
（2）試求y=f（x）的最大值與最小值之差g（a）．

Answer 1

分析 （1）AD長為x，則CD長為16-x，由題意可得a≤x≤12，運用矩形的面積公式，即可得到所求解析式和定義域；
（2）討論a的范圍，當(dāng)0＜a≤4時，當(dāng)4＜a≤8時，當(dāng)8＜a＜12時，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性，即可得到最值，進(jìn)而得到g（a）的解析式．

解答 解：（1）AD長為x，則CD長為16-x，
又因為要將P點圍在矩形ABCD內(nèi)，
∴a≤x≤12，
則矩形ABCD的面積為y=f（x）=x（16-x），定義域為[a，12]；
（2）當(dāng)0＜a≤4時，當(dāng)且僅當(dāng)x=8時，f（x）取得最大值64，
x=a時，取得最小值，且為a（16-a），可得g（a）=64-16a+a²；
當(dāng)4＜a≤8時，f（x）的最大值為64，最小值為12×（16-12）=48，
g（a）=64-48=16；
當(dāng)8＜a＜12時，[a，12]為遞減區(qū)間，可得：
f（x）的最大值為a（16-a），最小值為48，
即有g(shù)（a）=16a-a²-48．
則有g(shù)（a）=$\left\{\begin{array}{l}{64-16a+{a}^{2}，0＜a≤4}\\{16，4＜a≤8}\\{16a-{a}^{2}-48，8＜a＜12}\end{array}\right.$．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式和最值的求法，注意運用分類討論的思想方法，屬于中檔題．