Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy平面中，兩個(gè)定點(diǎn)A（-1，2），B（1，4），點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng)．
（1）若點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，滿足MA⊥MB點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為0；
（2）若點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠AMB最大時(shí)的點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，0），（-7，0）．

Answer 1

分析 （1）求出以AB為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)，即可得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（2）利用平面幾何中的圓外角小于圓周角，設(shè)過AB且與x軸相切的圓與x軸的切點(diǎn)為P，則P點(diǎn)即為所求的點(diǎn)．

解答 解：（1）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，滿足MA⊥MB點(diǎn)，就是以AB為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)，
A（-1，2），B（1，4），圓心是AB的中點(diǎn)（0，3），半徑為：$\sqrt{2}$．
以AB為直徑的圓的方程為：x²+（y-3）²=2，y=0，解得方程無解，
若點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上運(yùn)動(dòng)，滿足MA⊥MB點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為0個(gè)．
故答案為：0．
（2）設(shè)過AB且與x軸相切的圓的圓心為E（x，y），則M（x，0）．因?yàn)镸，A，B三點(diǎn)在圓上，
∴EM=EA=EB，
∴（x+1）²+（y-2）²=y²=（x-1）²+（y-4）²
整理可得，x²+6x-7=0
解方程可得x=1，x=-7．M（1，0），（-7，0）．
故答案為：M（1，0），（-7，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的性質(zhì)圓外的角小于圓周角在求解角的最值中的應(yīng)用，屬于中檔題．