Question

1．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂=8，S₄=40．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，求數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和P_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，根據(jù)條件列方程，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)a_n，運(yùn)用n=1時(shí)，b₁=T₁，n＞1時(shí)，b_n=T_n-T_n-1，求出b_n；
（Ⅱ）寫出c_n，然后運(yùn)用分組求和，一組為等差數(shù)列，一組為等比數(shù)列，分別應(yīng)用求和公式化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=8}\\{4{a}_{1}+6d=40}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=4，
∴a_n=4n，
∵T_n-2b_n+3=0，∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-1-2b_n-1+3=0，
兩式相減，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
則數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴b_n=3•2^n-1；                        
（Ⅱ）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，n為奇數(shù)}\\{3•{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，P_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=（4+12+…+8n-4）+（6+24+…+3•2^2n-1）
=4n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•8+$\frac{6（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=2²ⁿ⁺¹+4n²-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式的運(yùn)用，考查方程的思想在數(shù)列中的運(yùn)用，同時(shí)考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，是一道綜合題．