1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2=8,S4=40.?dāng)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,且Tn-2bn+3=0,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)cn=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n},n為奇數(shù)}\\{_{n},n為偶數(shù)}\end{array}\right.$,求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和P2n

分析 (Ⅰ)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式,根據(jù)條件列方程,求出首項(xiàng)和公差,得到通項(xiàng)an,運(yùn)用n=1時(shí),b1=T1,n>1時(shí),bn=Tn-Tn-1,求出bn
(Ⅱ)寫(xiě)出cn,然后運(yùn)用分組求和,一組為等差數(shù)列,一組為等比數(shù)列,分別應(yīng)用求和公式化簡(jiǎn)即可.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由題意,得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=8}\\{4{a}_{1}+6d=40}\end{array}\right.$,
解得a1=d=4,
∴an=4n,
∵Tn-2bn+3=0,∴當(dāng)n=1時(shí),b1=3,當(dāng)n≥2時(shí),Tn-1-2bn-1+3=0,
兩式相減,得bn=2bn-1,(n≥2)
則數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,
∴bn=3•2n-1;                        
(Ⅱ)cn=$\left\{\begin{array}{l}{4n,n為奇數(shù)}\\{3•{2}^{n-1},n為偶數(shù)}\end{array}\right.$.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),P2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(b2+b4+…+b2n
=(4+12+…+8n-4)+(6+24+…+3•22n-1
=4n+$\frac{1}{2}$n(n-1)•8+$\frac{6(1-{4}^{n})}{1-4}$
=22n+1+4n2-2.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式的運(yùn)用,考查方程的思想在數(shù)列中的運(yùn)用,同時(shí)考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式,考查數(shù)列的求和方法:分組求和,是一道綜合題.

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