Question

1．設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=8，S₄=40．數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n為奇數(shù)}\\{_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，求數(shù)列{c_n}的前2n項和P_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用等差數(shù)列的通項公式與求和公式，根據(jù)條件列方程，求出首項和公差，得到通項a_n，運用n=1時，b₁=T₁，n＞1時，b_n=T_n-T_n-1，求出b_n；
（Ⅱ）寫出c_n，然后運用分組求和，一組為等差數(shù)列，一組為等比數(shù)列，分別應用求和公式化簡即可．

解答 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=8}\\{4{a}_{1}+6d=40}\end{array}\right.$，
解得a₁=d=4，
∴a_n=4n，
∵T_n-2b_n+3=0，∴當n=1時，b₁=3，當n≥2時，T_n-1-2b_n-1+3=0，
兩式相減，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
則數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴b_n=3•2^n-1；                        
（Ⅱ）c_n=$\left\{\begin{array}{l}{4n，n為奇數(shù)}\\{3•{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
當n為偶數(shù)時，P_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=（4+12+…+8n-4）+（6+24+…+3•2^2n-1）
=4n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•8+$\frac{6（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=2²ⁿ⁺¹+4n²-2．

點評 本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項與求和公式的運用，考查方程的思想在數(shù)列中的運用，同時考查數(shù)列的通項與前n項和的關系式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，是一道綜合題．