Question

2．正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，AD中點(diǎn)為p，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿著正方形的邊移動(dòng)依次到達(dá)B、C、D結(jié)束．（在這個(gè)過程中，M點(diǎn)走過的路程為x，以MP為邊的正方形的面積為y．）
（1）找出x與y的函數(shù)關(guān)系式．
（2）關(guān)于x的方程y=k有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過對(duì)點(diǎn)M的位置進(jìn)行討論，并利用勾股定理即得結(jié)論；
（2）通過畫出圖象，數(shù)形結(jié)合即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，0≤x≤6，
如圖，取BC的中點(diǎn)Q并連結(jié)PQ，
則|AP|=|PD|=|BQ|=|QC|=1，|PQ|=2，
下面對(duì)點(diǎn)M的位置進(jìn)行討論：
①當(dāng)0≤x＜2時(shí)，點(diǎn)M位于線段AB上，
此時(shí)y=|MP|²=|AM|²+|AP|²=x²+1；
②當(dāng)2≤x＜3時(shí)，點(diǎn)M位于線段BQ上，
此時(shí)y=|MP|²=|MQ|²+|PQ|²=（3-x）²+4=x²-6x+13；
③當(dāng)3≤x＜4時(shí)，點(diǎn)M位于線段QC上，
此時(shí)y=|MP|²=|MQ|²+|PQ|²=（x-3）²+4=x²-6x+13；
④當(dāng)4≤x≤6時(shí)，點(diǎn)M位于線段CD上，
此時(shí)y=|MP|²=|MD|²+|PD|²=（6-x）²+1=x²-12x+37；
綜上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1，}&{0≤x＜2}\\{{x}^{2}-6x+13，}&{2≤x＜4}\\{{x}^{2}-12x+37，}&{4≤x≤6}\end{array}\right.$；
（2）由（1），畫出分段函數(shù)y的圖象如圖，
∵關(guān)于x的方程y=k有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
∴直線y=k與（1）中函數(shù)圖象有兩個(gè)不同個(gè)交點(diǎn)，
∴1≤k＜4，
由圖象可知，當(dāng)k=5時(shí)，方程y=k也有兩個(gè)不相等的實(shí)根．
即k的取值范圍為：1≤k＜4或k=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式，考查數(shù)形結(jié)合，注意解題方法的積累，屬于中檔題．