Question

8．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的個數(shù)是（　�。�
①f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{2π}{3}$對稱   
②f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{5π}{12}$，0）對稱
③若關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-$\frac{π}{2}$，0]有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（-2，-$\sqrt{3}$]
④將函數(shù)y=2cos2x的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位可得到函數(shù)f（x）的圖象．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意可知A，可求T，ω，當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時取得最大值2，結(jié)合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，從而可得函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由2x+$\frac{π}{3}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：f（x）的圖象的對稱軸，可得①不正確；由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z可解得f（x）的圖象的對稱中心為，可得②不正確；若x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，由正弦函數(shù)的圖象可得③正確；由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得④不正確．

解答 解：由題意可知A=2，T=4（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{12}$）=π，ω=2，
當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時取得最大值2，所以 2=2sin（2×$\frac{π}{12}$+φ），|φ|＜$\frac{π}{2}$，所以φ=$\frac{π}{3}$，
函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
由2x+$\frac{π}{3}$=2kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得：f（x）的圖象的對稱軸為：x=k$π+\frac{π}{12}$，k∈Z，可得①不正確；
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z可解得：f（x）的圖象的對稱中心為：（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，0），k∈Z，可得②不正確；
若x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，可得：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，
由正弦函數(shù)的圖象可得若關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-$\frac{π}{2}$，0]有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（-2，-$\sqrt{3}$]，故③正確；
將函數(shù)y=2cos2x的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位可得到函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=2cos[2（x-$\frac{π}{12}$）]=2cos（2x-$\frac{π}{6}$）=2sin[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{6}$）]=2sin（$\frac{2π}{3}$-2x）
=-2sin（2x-$\frac{2π}{3}$），故④不正確．
綜上，故選：B．

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基本知識的考查．