Question

17．若x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{kx-y+2≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，且z=y-x的最小值為-4，則k的值為$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由z=y-x便得到y(tǒng)=x+z，該式可表示在y軸上的截距為z且平行于y=x的直線，這樣根據(jù)已知條件即可畫出原不等式表示的平面區(qū)域，從而確定出直線kx-y+2=0的方程，從而求出k．

解答 解：z=y-x表示在y軸上截距為z且平行于y=x的直線；
z取最小值-4時(shí)，得到直線y=x-4；
畫出直線x+y-2=0和y=x-4如下圖：

由題意知，直線z=y-x經(jīng)過原不等式所表示的平面區(qū)域的最右端（4，0）點(diǎn)；
從而可知原不等式表示的平面區(qū)域如上圖陰影部分所示；
∴直線kx-y+2=0表示在x軸上的截距為4，在y軸上的截距為2的直線；
∴y=0時(shí)，x=$-\frac{2}{k}$=4；
∴$k=-\frac{1}{2}$．
故答案為：$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查不等式表示一個(gè)平面區(qū)域，并根據(jù)不等式可找出它表示的平面區(qū)域，知道z=y-x可以看成在y軸上截距為z且平行于直線y=x的直線系．