Question

已知單調遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_n•log

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a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，依題意，可得到關于a₁與q的方程組，解之即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）（1）得a_n=2ⁿ，再由b_n=a_n•log

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2

a_n，可得b_n=-n•2ⁿ，于是S_n=-（1×2+2×2²+…+n•2ⁿ），利用錯位相減法即可求得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
，解不等式S_n+n•2P^n+1P＞50即可求得使之成立的正整數(shù)n的最小值．

解答： 解：（1）設等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q．
依題意，有2（a₃+2）=a₂+a₄，代入a₂+a₃+a₄=28，
可得a₃=8，∴a₂+a₄=20，…（2分）
即

a1q2=8 a1q+a1q3=20

，解之得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

 …（4分）
又∵數(shù)列{a_n}單調遞增，所以q=2，a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ． …（6分）
（2）因為bn=2nlog

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2

2n=-n•2n，
所以S_n=-（1×2+2×2²+…+n•2ⁿ），
2S_n=-[1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]，
兩式相減，得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹． …（10分）
要使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50，即2ⁿ⁺¹-2＞50，即2ⁿ⁺¹＞52．
易知：當n≤4時，2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜52；
當n≥5時，2ⁿ⁺¹≥2⁶=64＞52．故使
S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值為5．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項公式的應用，突出考查錯位相減法求和，考查運算、分析、求解的能力，屬于中檔題．